高等代數2021年考試大綱
適用于數學一級學科碩士研究生招生入學考試。要求考生熟悉高等代數的基本概念、掌握基本定理與方法、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。考查的知識要點如下：
1．多項式：數域概念，一元多項式運算法則；帶余除法定理，最大公因式概念及求法(輾轉相除法)；不可約多項式概念和因式分解唯一性定理；重因式、余數定理，零點(根)定理；復/實系數多項式的因式分解定理；有理系數多項式、整系數多項式和本原多項式的概念、性質及相互關系，整系數多項式的有理根的求法，Eisenstein判別法
2．行列式：排列及對換的概念，排列奇偶性的概念及判定；行列式的定義、性質及計算方法；行列式按一行（列）展開，代數余子式，范德蒙德(Vandermonde)行列式；矩陣的定義和初等行、列變換，矩陣與行列式的區別；克拉默(Cramer)法則及應用。
3．線性方程組：線性方程組的高斯(Gauss)消元法；向量空間、線性相關、線性無關的概念與性質；矩陣的k級子式，矩陣秩的定義、性質及求法，向量組的極大線性無關組的求法；線性方程組有解的判定、線性方程組解的結構。
4．矩陣：矩陣的基本運算，矩陣乘積的行列式與秩；矩陣的逆的定義、性質及求法；矩陣分塊的概念和分塊矩陣的運算，初等矩陣、初等變換與矩陣的秩，分塊乘法的初等變換及應用。
5．二次型：二次型的矩陣表示，矩陣的合同關系，對稱矩陣的概念和性質；用非退化線性變換化二次型為標準形，實、復二次型的規范型，慣性定理與慣性指數；正定、半正定二次型的概念、性質及判別方法。
6．線性空間：集合、映射的定義與運算性質；線性空間的定義與簡單性質；維數、基與坐標的概念和性質，基變換與坐標變換；線性子空間的概念和性質，子空間的交與和的概念及性質，子空間的直和的定義及判別準則；線性空間的同構，同構映射的概念和性質。
7．線性變換：線性變換的定義、運算及其簡單性質；線性變換的矩陣及其性質；矩陣的相似關系的定義及其性質；特征多項式、特征值與特征向量的定義、性質及計算；線性變換在某一組基下的矩陣為對角矩陣的條件（即矩陣相似于對角矩陣的條件）；線性變換的值域與核的概念及性質；不變子空間的概念，不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系；若當（Jordan）標準形的概念及應用；最小多項式的概念和性質及求法。
8．λ-矩陣：λ-矩陣的定義及其秩、逆和初等變換；λ-矩陣在初等變換下的標準形；行列式因子、不變因子和初等因子的定義、性質及求法；矩陣相似的條件；復矩陣若當（Jordan）標準形的計算。
9．歐幾里得空間：歐幾里得空間（含內積）的定義與基本性質；歐幾里得空間中基的度量矩陣，正交向量組、正交基、標準正交基的定義、基本性質及相互關系，施密特正交化方法；歐幾里得空間的同構；正交變換、正交矩陣的定義和性質；子空間的正交關系；對稱變換、實對稱矩陣的性質及其標準形的求法；酉空間的概念和性質。
參考書目：北京大學數學系前代數小組編，王萼芳，石生明修訂，高等代數(第五版)，高等教育出版社，2019年5月。
原文標題：高等代數2021年考試大綱
原文鏈接：http://math.xtu.edu.cn/a491.html
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